উনিশ শতকের শেষের দিকে জর্জ ক্যান্টর সেট থিওরি৮ আবিষ্কার করেছিলেন। এই থিওরিই গণিতের মূল ভিত্তিতে পরিণত হয়। কিন্তু সেট থিওরিতে কিছু অদ্ভুত প্যারাডক্স ধরা পড়ে। যেমন, বার্ট্রান্ড রাসেলের বিখ্যাত রাসেলস প্যারাডক্স৯ একটি। ফলে গণিতের ভিত নড়ে যায়। গণিতবিদেরা তখন মরিয়া হয়ে এমন একটি নিখুঁত ভিত্তি বা স্বতঃসিদ্ধ খুঁজতে শুরু করেন, যা দিয়ে গণিতের সবকিছু কোনো রকম প্যারাডক্স ছাড়াই প্রমাণ করা যাবে।
এই স্বপ্নের নেতৃত্ব দিচ্ছিলেন বিখ্যাত জার্মান গণিতবিদ ডেভিড হিলবার্ট। হিলবার্টের স্বপ্ন বা হিলবার্টস প্রোগ্রামের মূল লক্ষ্য ছিল কয়েকটি। সেগুলো হলো:
১. সম্পূর্ণতা: প্রমাণ করতে হবে, গণিতের সব সত্যকে নির্দিষ্ট নিয়মের সাহায্যে প্রমাণ করা সম্ভব।
২. ধারাবাহিকতা: প্রমাণ করতে হবে, গণিতের ভেতরে কোনো প্যারাডক্স নেই।
৩. মীমাংসযোগ্যতা: এমন একটি অ্যালগরিদম বা পদ্ধতি থাকতে হবে, যা দিয়ে যেকোনো গাণিতিক বাক্যের সত্য বা মিথ্যা হওয়া নির্ধারণ করা যায়।
আলফ্রেড নর্থ হোয়াইটহেড১০ এবং বার্ট্রান্ড রাসেল এই লক্ষ্য অর্জনের জন্যই ১৯১০ থেকে ১৯১৩ সালের মধ্যে তিন খণ্ডে তাঁদের বিখ্যাত বই প্রিন্সিপিয়া ম্যাথমেটিকা১১ প্রকাশ করেন। সেখানে তাঁরা এমন এক জটিল যৌক্তিক কাঠামো দাঁড় করান, যেখানে শুধু ১ + ১ = ২ প্রমাণ করতেই তাঁদের ৩৬০ পৃষ্ঠার মতো লিখতে হয়েছিল!
১৯২৮ সালে ইতালির বোলোগনায় ডেভিড হিলবার্ট গণিতের সম্পূর্ণতা ও ধারাবাহিকতার ওপর একটি বিখ্যাত লেকচার দেন। গোডেল সেই লেকচার শুনে মুগ্ধ হন এবং নিজের পিএইচডি গবেষণার জন্য এই বিষয়টিকেই বেছে নেন। ১৯২৯ সালে, মাত্র ২৩ বছর বয়সে, হ্যান্স হানের তত্ত্বাবধানে তিনি তাঁর ডক্টরেট থিসিস জমা দেন।